三たび「モンティーホール問題」
三たび「モンティーホール問題」
去年の11月に書いたが、ふと気になって読み直した。
ん〜ん…やっぱり分かり難い。
モンティーホール問題というのは、直感的判断と確率論的回答に大きな隔たりがあることを説明するときに使用される命題。
実際のアメリカでの豪華商品が獲得できる番組の司会者モンティーホールにちなんで命名されたもの。
参加者は、３つのドアのうち１つを選ぶことができ、１つのドアの向こうだけに豪華商品が隠されている。
参加者が、１つのドアを選んだあと、豪華商品がどのドアの向こうにあるのかを知っているモンティーホールが、はずれのドアの1つを開けます。
そして、参加者に、選んだドアをそのまま選ぶのか、他のドアを選びなおすのかを選択させるといもの。
ドアを選びなおすほうがいいのか、そのまま先に選んだドアのままにするのか？
どちらが豪華商品の当たる確率が高いのか？
モンティーホールが開けたドアはハズレです。
モンティーホールが開けたドアはハズレだったので、豪華商品は、参加者が先に選んだドアの向こうにあるか、もう１つのドアの向こうにあるのか、２つに１つに限られます。
その２つのドアのどちららに豪華商品が隠されているのは確実です。
２つに１つ、先に参加者が選んだドアの向こうに豪華商品が隠されている確率も、もう１つのドアの向こうの豪華商品が隠されている確率も、ともに1/2と直感的には考えるのが普通ではないでしょうか？
では考えてみましょう。
まず、選び直すさない、すなわち「2回目の選択という確率事象が発生しなかった」とき、当たる確率が33.3%のままというのは分かると思います。
では、「選び直すという確率事象が生じた」ときを考えて見ましょう。
単に当たる確率は、｢
100%➖66.7%×50%(１➖2回とも当たらない確率)｣
≒66.7%です。
しかし、ここで注意しないといけないのは、
「1回目にのみ当たる」か
「2回目にのみ当たる」か
「2回ともに当たる」か
の3つの確率事象のいずれかが生じる確率が66.7%ということ。
具体的には、
「1回目が当たっていて、2回目の選択で同じドアを選択する」という選択をして当たるという場合、
当たる確率は、…1回目が当たる確率33.3%×2回目が当たる確率50%≒16.7%です。
(注:2回目の選択が存在しない場合の当たる確率33.3%と異なることに注目してください！)
「1回目が当たっておらず、2回目に別のドアを選択をする」という選択をして当たる確率は…1回目が外れる確率66.7%×2回目が当たる確率50%≒33.3%です。
さらに、「1回目が当たっていて、2回目に別のドアを選択する」という選択して外れる確率(1回目が当たる確率33.3%×2回目が外れる確率50%＝16.7%というのが、「1回目に当たる」か「2回目に当たる」の確率66.7%の内に暗黙裏に存在している。
つまりは、ドアを2回目に選び直して当たる確率は50%ととなり、選び直すのをせずに当たる確率は33.3%であり、違うドアを選択する方が当たる確率を高めるとことができるというのが答え。
因みに、「1回目も2回目も両方当たらない」確率は、66.7%×50%≒33.3%です。
全ての組み合わせの発生確率は、きっちり100%になっていますね。
ただ、確率というものは、1000万回くらい(正確には『無限回』)繰り返したとき、その確率になるという暗黙の前提があるため、ワンチャンスの選択で差が出ることは殆どない、つまり、当たるも八卦当たらぬも八卦、なのです。
ややこしくて、書いている私も混乱してしまいます。
私の確率解釈が正しいか否か?
頭の体操をボケ防止に活用あれ!
